Các yếu tố nào xác định một mặt phẳng duy nhất? Đáp án C

Câu hỏi: Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?

• A. Bốn điểm phân biệt.
• B. Ba điểm phân biệt.
• C. Hai đường thẳng cắt nhau.
• D. Ba đường thẳng phân biệt.

Đáp án đúng là C. Hai đường thẳng cắt nhau. Hai đường thẳng cắt nhau xác định một mặt phẳng duy nhất trong mọi trường hợp, vì chúng có đúng một điểm chung và không cùng phương — khác với các phương án còn lại chỉ đúng khi có thêm điều kiện đi kèm.

Vì sao đáp án C đúng

Hai đường thẳng cắt nhau luôn xác định duy nhất một mặt phẳng, không cần thêm điều kiện nào. Giả sử hai đường thẳng a và b cắt nhau tại điểm M. Lấy điểm A trên a (A ≠ M) và điểm B trên b (B ≠ M). Ba điểm A, M, B không thẳng hàng vì nếu chúng thẳng hàng thì a và b phải trùng nhau, trái với giả thiết cắt nhau. Ba điểm không thẳng hàng xác định duy nhất một mặt phẳng, nên toàn bộ hai đường thẳng a và b cùng nằm trong mặt phẳng đó, và mặt phẳng ấy là duy nhất.

Kết quả này được ghi thành một trong bốn cách xác định mặt phẳng ở chương trình Hình học lớp 11, và là cách chắc chắn nhất trong các phương án đề đưa ra. Vì vậy với câu hỏi các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất, C là phương án thỏa mãn yêu cầu “luôn luôn”.

Vì sao các phương án A, B, D không thỏa mãn

Ba phương án còn lại đều có thể xác định một mặt phẳng trong một số trường hợp, nhưng không đảm bảo điều đó trong mọi trường hợp. Sự khác biệt nằm ở chỗ: đề bài yêu cầu yếu tố luôn xác định mặt phẳng duy nhất, chứ không phải yếu tố có thể xác định.

• A. Bốn điểm phân biệt: sai vì bốn điểm có thể đồng phẳng, cũng có thể không đồng phẳng. Ví dụ bốn đỉnh của một tứ diện không cùng nằm trên bất kỳ mặt phẳng nào; ngược lại bốn điểm tùy ý trên một tờ giấy thì lại đồng phẳng. Không có cơ sở để khẳng định duy nhất một mặt phẳng.
• B. Ba điểm phân biệt: sai vì thiếu điều kiện không thẳng hàng. Nếu ba điểm thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua chúng — chúng chỉ xác định một đường thẳng, không xác định mặt phẳng duy nhất. Đây là phương án dễ nhầm nhất vì ba điểm không thẳng hàng đúng là một cách xác định mặt phẳng, nhưng đề không nêu “không thẳng hàng”.
• D. Ba đường thẳng phân biệt: sai vì ba đường thẳng có thể song song với nhau, có thể đồng quy tại một điểm, hoặc cắt nhau từng đôi một theo ba giao điểm. Ba đường thẳng đồng quy tại một điểm không cùng nằm trong một mặt phẳng duy nhất — hình dung ba cạnh góc vuông xuất phát từ một đỉnh của hình hộp chữ nhật.

Chỉ phương án C không phụ thuộc vào vị trí tương đối nào thêm, nên là đáp án đúng.

Bốn cách xác định một mặt phẳng trong hình học không gian

Có đúng bốn trường hợp kinh điển xác định duy nhất một mặt phẳng, thường được phát biểu thành định lý và dùng làm công cụ chứng minh trong hình học không gian lớp 11:

1. Ba điểm không thẳng hàng xác định duy nhất một mặt phẳng. Phản ví dụ: ba điểm thẳng hàng cho vô số mặt phẳng.
2. Một đường thẳng và một điểm nằm ngoài đường thẳng đó xác định duy nhất một mặt phẳng. Phản ví dụ: nếu điểm thuộc đường thẳng, lại có vô số mặt phẳng chứa đường thẳng đó.
3. Hai đường thẳng cắt nhau xác định duy nhất một mặt phẳng.
4. Hai đường thẳng song song xác định duy nhất một mặt phẳng. Hai đường thẳng trùng nhau không thuộc trường hợp này vì chúng chỉ cho một đường thẳng.

Điểm chung của cả bốn trường hợp: các yếu tố đưa ra phải ràng buộc nhau đủ chặt để chỉ còn một mặt phẳng duy nhất đi qua. Ba điểm thẳng hàng, bốn điểm bất kỳ, ba đường thẳng bất kỳ đều thiếu ràng buộc đó.

Mẹo ghi nhớ và nhận diện nhanh

Khi gặp câu hỏi về các yếu tố xác định mặt phẳng, hãy kiểm tra xem đề có nêu đủ điều kiện ràng buộc chưa. Bốn từ khóa cần nhớ: không thẳng hàng (với ba điểm), không thuộc đường thẳng (với điểm và đường thẳng), cắt nhau và song song (với hai đường thẳng). Thiếu một trong các cụm điều kiện này thì yếu tố đó chưa đủ để xác định duy nhất một mặt phẳng.

Một mẹo nhanh khi làm trắc nghiệm: đáp án đúng thường là đáp án không cần thêm chữ “nếu” hay “với điều kiện”. Ở câu này, chỉ C thỏa mãn tiêu chí đó.