Bài toán (a+2)(b+2)=8: tính P, đáp án bằng 4 kèm lời giải

Câu hỏi: Cho các số thực a, b không âm thỏa mãn điều kiện (a+2)(b+2) = 8. Tính giá trị của biểu thức P = ab + 2√(a² + b² + 8 − √(2(a²+4)(b²+4))).

Đáp án đúng là 4. Với mọi cặp số không âm (a, b) thỏa (a+2)(b+2) = 8, biểu thức a² + b² + 8 − √(2(a²+4)(b²+4)) luôn thu gọn đúng bằng (a+b)², nên P = ab + 2(a+b), và chính điều kiện đề bài cho ab + 2(a+b) = 4.

Vì sao P luôn bằng 4: lời giải từng bước

Điểm mấu chốt là chứng minh biểu thức nằm trong căn bậc hai lớn của P chính là một bình phương đúng. Khi đó căn thức được khử hoàn toàn và P trở về đúng dạng của giả thiết.

1. Khai triển giả thiết: (a+2)(b+2) = ab + 2a + 2b + 4 = 8, suy ra ab + 2(a+b) = 4. Đặt p = ab, s = a + b, ta có p + 2s = 4, tức s = (4 − p)/2.

2. Tính tích (a²+4)(b²+4) = a²b² + 4a² + 4b² + 16 = p² + 4(s² − 2p) + 16 = p² + 4s² − 8p + 16. Thay 4s² = (4 − p)² = 16 − 8p + p² vào, được 2p² − 16p + 32 = 2(p − 4)².

3. Nhân thêm 2: 2(a²+4)(b²+4) = 4(p − 4)², nên √(2(a²+4)(b²+4)) = 2|p − 4|. Vì p + 2s = 4 với s ≥ 0 nên p ≤ 4, do đó |p − 4| = 4 − p và căn thức bằng 2(4 − p) = 8 − 2ab.

4. Biểu thức trong căn lớn: a² + b² + 8 − (8 − 2ab) = a² + 2ab + b² = (a+b)². Do a, b ≥ 0 nên √((a+b)²) = a + b.

5. Vậy P = ab + 2(a+b) = 4. Giá trị này không phụ thuộc vào việc chọn cặp (a, b) nào, miễn cặp đó thỏa điều kiện.

Kiểm tra lại bằng vài cặp cụ thể: (a, b) = (0, 2) cho P = 0 + 2√(4 + 8 − 8) = 4; (a, b) = (2, 0) cũng cho 4; (a, b) = (1, 2/3) cho P = 2/3 + 2√(25/9) = 2/3 + 10/3 = 4. Các kết quả trùng khớp, xác nhận P là hằng số.

Những chỗ dễ sai khiến kết quả lệch khỏi 4

Bài này không có phương án nhiễu, nhưng có ba lỗi biến đổi rất hay gặp; mỗi lỗi đều dẫn tới một con số khác 4.

• Bỏ sót hệ số 2 trong căn. Nếu viết nhầm √((a²+4)(b²+4)) thay vì √(2(a²+4)(b²+4)) thì phần dư không còn triệt tiêu, biểu thức trong căn không còn là (a+b)² và P sẽ phụ thuộc vào a, b.
• Khử căn mà không xét dấu. Từ √(4(p−4)²) phải lấy 2|p − 4|. Nếu vội vàng viết 2(p − 4) = 2ab − 8 thì dấu bị ngược, kéo theo P = ab + 2(a+b) − 16 hoặc một giá trị âm vô lý.
• Thay một cặp số rồi kết luận. Chỉ thử (a, b) = (0, 2) mới cho biết một giá trị ứng viên, chưa chứng minh P không đổi. Muốn kết luận P = 4 phải chỉ ra biểu thức trong căn bằng (a+b)² với mọi cặp thỏa điều kiện, đúng như bước 2 và bước 4 ở trên.

Một cái bẫy khác là giả định a = b cho nhanh. Với a = b thì (a+2)² = 8, không có nghiệm nguyên đẹp, và cặp (1, 1) hay (2, 2) đều không thỏa (a+2)(b+2) = 8 vì lần lượt cho 9 và 16.

Hệ thống kiến thức liên quan

Bài toán xoay quanh ba nhóm kiến thức đại số cơ bản, dùng lại được cho nhiều đề thi về điều kiện ràng buộc và biểu thức chứa căn.

• Hằng đẳng thức đáng nhớ: (a+b)² = a² + 2ab + b²; a² + b² = (a+b)² − 2ab. Đây là cầu nối giữa đại lượng ab + 2(a+b) của giả thiết và các bình phương trong biểu thức P.
• Điều kiện ràng buộc: từ (a+2)(b+2) = 8 với a, b ≥ 0 suy ra 2 ≤ a+2 ≤ 4 và 2 ≤ b+2 ≤ 4, tức 0 ≤ a, b ≤ 2; đồng thời ab ≤ 4 và a + b = (4 − ab)/2 ≥ 0. Chính các chặn này cho phép bỏ dấu giá trị tuyệt đối khi khai căn.
• Kỹ thuật khử căn bằng bình phương đúng: nhóm tích (a²+4)(b²+4) theo p = ab và s = a + b để phát hiện nhân tử (p − 4)². Khi biểu thức dưới căn viết được thành bình phương của một đại lượng không âm, căn thức biến mất và bài toán trở thành cộng trừ thông thường.
• Nhận xét về tính bất biến: một biểu thức chỉ chứa ab và a + b, kết hợp với một điều kiện cũng chỉ ràng buộc ab và a + b, thường cho giá trị không đổi. Đây là dấu hiệu để định hướng biến đổi ngay từ đầu.

Mẹo nhận diện và ghi nhớ

Thấy căn bậc hai bao quanh một biểu thức chứa a² + b² cùng một tích dạng (a² + k)(b² + k), hãy nghĩ ngay tới việc đổi biến p = ab, s = a + b rồi ép xuất hiện bình phương đúng. Với bài này, chỉ cần nhớ hai dòng: (a²+4)(b²+4) = 2(4 − ab)² và ab + 2(a+b) = 4, toàn bộ lời giải hiện ra trong ba bước. Cách kiểm tra nhanh trên giấy nháp: chọn hai cặp biên dễ tính như (0; 2) và (2; 0), nếu cùng ra một giá trị thì nhiều khả năng biểu thức là hằng số, và việc còn lại là chứng minh bằng biến đổi đại số chứ không phải bằng cách thử thêm vài cặp số.