Một mảnh vườn hình chữ nhật: chu vi, diện tích và tiền trồng rau

Câu hỏi: Một mảnh vườn hình chữ nhật MNPQ có chiều dài MN = 30m, chiều rộng MQ = 24m. Người ta chia mảnh vườn thành hai phần: một phần trồng rau bên trong hình thoi ABCD và phần còn lại trồng cây cảnh. Các điểm A, B, C, D lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng MQ, MN, NP, PQ.

a) Tính chu vi và diện tích mảnh đất hình chữ nhật trên.

b) Người chủ vườn đã thuê người về trồng rau sạch với chi phí mỗi mét vuông là 60 000 đồng. Tính số tiền công phải chi trả cho việc trồng rau.

Đáp án

a) Chu vi mảnh vườn là 108m, diện tích là 720m². b) Số tiền công trồng rau là 21 600 000 đồng. Kết quả này có được nhờ hai công thức cơ bản của hình chữ nhật và một tính chất quan trọng: hình thoi nối bốn trung điểm các cạnh của một mảnh vườn hình chữ nhật luôn có diện tích đúng bằng một nửa diện tích hình chữ nhật đó.

Vì sao đáp án đúng

Bài toán chỉ dùng hai công thức quen thuộc và một quan hệ diện tích, nên có thể giải theo từng bước rõ ràng dưới đây.

1. Tính chu vi hình chữ nhật MNPQ. Công thức: P = 2 × (dài + rộng). Thay MN = 30m, MQ = 24m: P = 2 × (30 + 24) = 2 × 54 = 108 (m).
2. Tính diện tích hình chữ nhật MNPQ. Công thức: S = dài × rộng = 30 × 24 = 720 (m²).
3. Tính diện tích hình thoi ABCD. Hai đường chéo của hình thoi ABCD chính là hai đoạn nối trung điểm của các cặp cạnh đối diện, có độ dài bằng chiều rộng và chiều dài hình chữ nhật, tức 24m và 30m. Áp dụng công thức diện tích hình thoi S = ½ × d₁ × d₂: S = ½ × 24 × 30 = 360 (m²). Cách khác: hình thoi ABCD chiếm đúng một nửa diện tích hình chữ nhật nên S = 720 ÷ 2 = 360 (m²). Hai cách cho cùng kết quả — đây cũng là bước kiểm tra chéo đáng làm khi đi thi.
4. Tính tiền công trồng rau. Diện tích trồng rau là diện tích hình thoi ABCD = 360m², đơn giá 60 000 đồng/m². Số tiền = 360 × 60 000 = 21 600 000 (đồng).

Điểm cần chú ý là phần trồng rau chỉ nằm trong hình thoi, không phải toàn bộ mảnh vườn. Nếu lấy 720m² nhân đơn giá sẽ ra 43 200 000 đồng — gấp đôi đáp án đúng. Đây là lỗi phổ biến nhất ở dạng bài này.

Vì sao các cách hiểu sai thường gặp

Bài tự luận không có phương án nhiễu, nhưng đề được thiết kế để bẫy đúng vài lỗi quen thuộc. Nhận diện được các lỗi này giúp tránh mất điểm oan.

• Nhầm diện tích trồng rau với diện tích cả vườn. Hình thoi ABCD chỉ là phần bên trong nối bốn trung điểm, phần rau chỉ chiếm một nửa diện tích. Lấy 720m² nhân đơn giá là sai bản chất đề.
• Nhầm chu vi với nửa chu vi. Công thức là 2 × (dài + rộng), không phải dài + rộng. Bỏ hệ số 2 sẽ ra 54m — con số trông “hợp lý” nhưng sai.
• Nhầm công thức diện tích hình thoi với công thức hình bình hành. Hình thoi có công thức riêng S = ½ × d₁ × d₂ dựa trên hai đường chéo; dùng cạnh × chiều cao ở đây rất dễ lẫn vì ABCD không có chiều cao cho sẵn.
• Tính sai đơn vị tiền. 60 000 đồng/m² là đơn giá cho một mét vuông, không phải cho cả mảnh vườn. Nhân đúng diện tích rồi nhân đơn giá, không cộng đơn giá vào diện tích.

Hệ thống kiến thức liên quan

Dạng bài này nằm ở giao điểm của hình chữ nhật, hình thoi và bài toán thực tế về chi phí, nên nắm chắc các ý sau là đủ xử lý mọi biến thể.

• Hình chữ nhật: chu vi P = 2 × (a + b); diện tích S = a × b, với a, b là chiều dài và chiều rộng.
• Hình thoi: diện tích S = ½ × d₁ × d₂, với d₁, d₂ là hai đường chéo. Hai đường chéo của hình thoi vuông góc và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
• Tính chất trung điểm: nối bốn trung điểm các cạnh của một hình chữ nhật luôn được một hình thoi. Hai đường chéo của hình thoi này song song với các cạnh hình chữ nhật và có độ dài bằng chiều rộng, chiều dài tương ứng.
• Quan hệ diện tích: diện tích hình thoi nội tiếp kiểu này bằng đúng một nửa diện tích hình chữ nhật bao ngoài.
• Bài toán chi phí: tổng tiền = diện tích cần phủ × đơn giá trên một đơn vị diện tích. Luôn xác định đúng vùng diện tích được tính tiền trước khi nhân.

Mẹo ghi nhớ và cách nhận diện nhanh

Với dạng “hình thoi nối trung điểm trong hình chữ nhật”, chỉ cần nhớ một câu: diện tích hình thoi bằng nửa diện tích hình chữ nhật. Từ đó suy ngược ra đường chéo cũng nhanh: hai đường chéo chính là chiều dài và chiều rộng.

Khi gặp bài tính tiền, làm theo ba bước cố định: xác định vùng cần tính tiền → tính diện tích vùng đó → nhân với đơn giá. Đọc kỹ chữ “bên trong hình thoi” hay “phần còn lại” để không nhân nhầm vùng. Kiểm tra lại bằng cách ước lượng: 360m² gần một nửa sân bóng 5 người, nhân 60 nghìn mỗi mét vuông ra hơn 20 triệu — con số hợp lý về mặt thực tế.