Bài toán mảnh đất hình chữ nhật: chiều rộng tối ưu 10 m

Câu hỏi: Anh Nam có một mảnh đất rộng và muốn dành ra một khu đất hình chữ nhật có diện tích 200 m² để trồng vài loại cây mới. Anh dự kiến rào quanh ba cạnh của khu đất hình chữ nhật này bằng lưới thép, cạnh còn lại (chiều dài) sẽ tận dụng bức tường có sẵn (Hình 1). Do điều kiện địa lí, chiều rộng khu đất không vượt quá 15 m. Hỏi chiều rộng của khu đất này bằng bao nhiêu để tổng chiều dài lưới thép cần dùng là ngắn nhất (nghĩa là chi phí rào lưới thép thấp nhất)?

Đáp án đúng là: chiều rộng 10 m, tổng chiều dài lưới thép cần dùng 40 m. Với một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích cố định 200 m², phần lưới thép chỉ gồm hai chiều rộng và một chiều dài, nên lượng lưới ít nhất rơi đúng vào điểm cân bằng 2x = 200/x, tức x = 10 m (thỏa điều kiện x ≤ 15 m).

Vì sao chiều rộng 10 m cho tổng chiều dài lưới thép ngắn nhất

Bài toán thuộc dạng tối ưu hóa có ràng buộc: diện tích cố định, cần cực tiểu chiều dài hàng rào. Cách xử lý là chuyển bài toán hình học thành bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của một hàm số một biến.

1. Gọi x (m) là chiều rộng khu đất, y (m) là chiều dài, với 0 < x ≤ 15.
2. Diện tích khu đất bằng 200 m² nên x·y = 200, suy ra y = 200/x.
3. Ba cạnh cần rào gồm hai cạnh chiều rộng và một cạnh chiều dài (cạnh dài còn lại đã có bức tường). Vậy tổng chiều dài lưới thép là L = 2x + y = 2x + 200/x.
4. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương 2x và 200/x: L = 2x + 200/x ≥ 2√(2x · 200/x) = 2√400 = 40.
5. Dấu “=” xảy ra khi 2x = 200/x, tức x² = 100, hay x = 10 (loại x = −10 vì chiều rộng phải dương).
6. Kiểm tra ràng buộc địa lí: 10 m ≤ 15 m nên giá trị này hợp lệ. Khi đó y = 200/10 = 20 m và L = 2·10 + 20 = 40 m.

Có thể kiểm chứng lại bằng đạo hàm: L'(x) = 2 − 200/x², L'(x) = 0 khi x = 10; L'(x) < 0 với 0 < x < 10 và L'(x) > 0 với x > 10, nên x = 10 là điểm cực tiểu. Điều đáng chú ý là ràng buộc x ≤ 15 không làm thay đổi kết quả, vì điểm tối ưu 10 m nằm gọn bên trong miền cho phép — nếu điểm tối ưu rơi ngoài miền (ví dụ lớn hơn 15 m) thì giá trị nhỏ nhất sẽ đạt tại biên x = 15.

Các giá trị chiều rộng khác đều tốn lưới thép hơn

Mọi chiều rộng khác 10 m đều cho tổng chiều dài lưới lớn hơn 40 m. Đối chiếu vài giá trị cụ thể để thấy rõ:

• x = 5 m: y = 40 m, L = 2·5 + 40 = 50 m.
• x = 8 m: y = 25 m, L = 16 + 25 = 41 m.
• x = 15 m (mức biên đề cho phép): y ≈ 13,3 m, L ≈ 30 + 13,3 ≈ 43,3 m.
• x = 20 m: y = 10 m, L = 50 m, nhưng vi phạm điều kiện chiều rộng không vượt quá 15 m nên không được chọn.

Đây cũng là chỗ dễ nhầm nhất: con số 50 m đôi khi bị ghi thành “tổng chiều dài lưới thép” của đáp án, nhưng nó ứng với chiều rộng 5 m (hoặc 20 m), không phải 10 m. Với chiều rộng 10 m, phép tính đúng là 2·10 + 20 = 40 m. Nói cách khác, đáp án cần nhớ là chiều rộng 10 m; con số đi kèm phải khớp với công thức L = 2x + 200/x.

Hệ thống kiến thức liên quan

Dạng bài này dựa trên bất đẳng thức Cauchy (còn gọi là bất đẳng thức AM–GM) và kỹ thuật tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số dạng a·x + b/x.

• Bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm a, b: a + b ≥ 2√(ab), dấu “=” khi a = b. Vận dụng vào đây với a = 2x, b = 200/x, tích ab = 400 không đổi, nên tổng nhỏ nhất khi hai số hạng bằng nhau.
• Hàm số f(x) = a·x + b/x với a, b > 0, x > 0 đạt giá trị nhỏ nhất 2√(ab) tại x = √(b/a). Trong bài này a = 2, b = 200 nên x = √100 = 10.
• Ràng buộc miền giá trị: sau khi tìm được điểm tối ưu, luôn phải so lại với điều kiện thực tế (ở đây là 0 < x ≤ 15). Nếu điểm tối ưu nằm ngoài miền, giá trị nhỏ nhất đạt tại biên gần nhất.
• Ý nghĩa thực tế: với diện tích cố định, hàng rào ngắn nhất khi phần chiều rộng được rào hai lần có độ dài bằng nửa chiều dài — tức hình dạng khu đất bị “kéo dài” theo hướng đã có tường, đúng với trực giác là nên tận dụng tối đa cạnh miễn phí.

Mẹo nhận diện nhanh dạng bài tối ưu hàng rào

Khi đề cho diện tích cố định và hỏi chi phí vật liệu nhỏ nhất, hãy lập ngay hàm chi phí rồi tìm điểm cân bằng giữa hai số hạng.

• Đếm đúng số cạnh phải rào: rào 3 cạnh thì hệ số 2 rơi vào cạnh xuất hiện hai lần (ở đây là chiều rộng), cạnh tận dụng tường có hệ số 1.
• Nhớ quy tắc “hai số hạng bằng nhau”: 2x = 200/x, giải ra x² = 100, x = 10. Không cần đạo hàm vẫn ra kết quả.
• Luôn thử lại bằng cách thế ngược để kiểm tra con số cuối: L = 2·10 + 20 = 40 m, tránh ghi nhầm các giá trị như 50 m.
• Đừng bỏ qua điều kiện biên (x ≤ 15); nếu điểm tối ưu vượt biên thì đáp án nằm ngay tại biên.