Cách tính vận tốc trung bình và tức thời: Lời giải chi tiết

Câu hỏi: Phân biệt vận tốc trung bình và vận tốc tức thời. Cho một chất điểm di chuyển trên đường thẳng với tọa độ x = 3t² + 2t. Xác định vận tốc trung bình của chất điểm trong 6 s đầu và vận tốc tức thời tại t = 6 s.

Đáp án đúng là: Vận tốc trung bình trong 6 s đầu bằng 20 m/s; vận tốc tức thời tại t = 6 s bằng 38 m/s. Cách tính vận tốc trung bình dựa vào độ dời trong cả khoảng thời gian, còn vận tốc tức thời được tìm bằng đạo hàm của tọa độ theo thời gian.

Vì sao vận tốc trung bình là 20 m/s và vận tốc tức thời là 38 m/s?

Vận tốc trung bình trong 6 s đầu bằng độ dời chia cho khoảng thời gian 6 s. Vận tốc tức thời tại t = 6 s được xác định từ tốc độ biến thiên của tọa độ ngay tại thời điểm đó.

1. Tính tọa độ ban đầu: x(0) = 3 × 0² + 2 × 0 = 0 m.
2. Tính tọa độ sau 6 s: x(6) = 3 × 6² + 2 × 6 = 108 + 12 = 120 m.
3. Tính độ dời: Δx = x(6) − x(0) = 120 − 0 = 120 m. Do đó, vận tốc trung bình là vtb = Δx/Δt = 120/6 = 20 m/s.
4. Lấy đạo hàm của tọa độ theo thời gian: v(t) = dx/dt = 6t + 2. Thay t = 6 s, ta được v(6) = 6 × 6 + 2 = 38 m/s.

Hai kết quả không bằng nhau vì chúng mô tả chuyển động theo hai cách khác nhau: 20 m/s ứng với toàn bộ khoảng từ 0 đến 6 s, còn 38 m/s ứng với riêng thời điểm t = 6 s.

Phân biệt vận tốc trung bình và vận tốc tức thời

Vận tốc trung bình là tỉ số giữa độ dời và thời gian thực hiện độ dời đó: vtb = Δx/Δt. Đại lượng này cho biết mức thay đổi tọa độ tính trung bình trên một khoảng thời gian. Khi tính, cần xác định đúng tọa độ ở đầu và cuối khoảng xét; không được lấy tọa độ cuối chia cho thời gian nếu tọa độ đầu khác 0.

Vận tốc tức thời mô tả chuyển động tại một thời điểm. Về mặt toán học, đó là giới hạn của vận tốc trung bình khi khoảng thời gian xét tiến tới 0; nếu đã biết hàm tọa độ x(t), ta tính bằng đạo hàm dx/dt.

Cần phân biệt độ dời với quãng đường. Vận tốc trung bình được tính từ độ dời, còn quãng đường chia cho thời gian cho ra tốc độ trung bình. Trong 6 s đầu của bài này, v(t) = 6t + 2 luôn dương nên chất điểm chuyển động theo một chiều; vì thế độ lớn của độ dời cũng bằng quãng đường đi được. Đây là lý do phép tính dùng 120 m vẫn cho kết quả đúng, dù lời giải cần gọi chính xác đó là độ dời.

Mẹo nhận diện nhanh cách tính

Gặp cụm “trong 6 s đầu”, hãy xác định một khoảng thời gian: tính x(0), x(6), rồi lấy hiệu tọa độ chia cho 6 s. Gặp cụm “tại t = 6 s”, hãy xác định một thời điểm: lấy đạo hàm x(t), sau đó mới thay t = 6 s. Phân biệt “trong một khoảng” và “tại một thời điểm” sẽ giúp tránh dùng nhầm hai công thức.