Chứng minh tứ giác là hình bình hành: 3 bài giải chi tiết

Câu hỏi: Cho hình bình hành ABCD, đường chéo BD. Từ A và C kẻ AE, CF vuông góc với BD lần lượt tại H và K. Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành.

Câu hỏi: Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Qua điểm O, vẽ đường thẳng a cắt hai đường thẳng AD, BC lần lượt tại E, F. Qua điểm O vẽ đường thẳng b cắt hai cạnh AB, CD lần lượt tại H, K. Chứng minh tứ giác EKFH là hình bình hành.

Câu hỏi: Cho hình thang ABCD có AB ∥ CD và AB = 1/2 CD. Gọi E là trung điểm của CD. a) Chứng minh tứ giác ABED là hình bình hành. b) Chứng minh tứ giác ABCE là hình bình hành.

Đáp án đúng là: Bài 1 — tứ giác AHCK là hình bình hành. Bài 2 — tứ giác EKFH là hình bình hành. Bài 3 — a) tứ giác ABED là hình bình hành; b) tứ giác ABCE là hình bình hành. Cả ba bài đều dùng chung một hướng: áp dụng dấu hiệu nhận biết hình bình hành dựa trên cặp cạnh đối song song và bằng nhau, hoặc hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Vì sao các tứ giác trong đề đều là hình bình hành

Điểm chung của ba bài là biến các giả thiết về song song, bằng nhau, vuông góc thành đúng một trong các dấu hiệu nhận biết hình bình hành. Không cần đo góc hay tính độ dài cụ thể, chỉ cần chỉ ra cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau, hoặc hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Bài 1 — tứ giác AHCK

AE và CF cùng vuông góc với BD nên AE ∥ CF. Hai đoạn này là các đường cao hạ từ A và C xuống cùng một đường chéo BD; do ABCD là hình bình hành, AB = CD và khoảng cách từ A, C đến BD bằng nhau, suy ra AE = CF. Tứ giác AHCK có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau, nên là hình bình hành.

Bài 2 — tứ giác EKFH

O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của AC và BD. Xét hai tam giác bằng nhau theo trường hợp góc – cạnh – góc (cặp góc so le trong tại O, cạnh OA = OC hoặc OB = OD), ta được OE = OF và OH = OK. Vậy O là trung điểm của cả EF và HK. Tứ giác EKFH có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, nên là hình bình hành.

Bài 3 — tứ giác ABED và ABCE

Với E là trung điểm CD, ta có DE = CE = 1/2 CD, mà AB = 1/2 CD theo giả thiết, nên AB = DE = CE. Lại có AB ∥ CD và E nằm trên CD, suy ra AB ∥ DE và AB ∥ CE. Tứ giác ABED có AB ∥ DE và AB = DE nên là hình bình hành. Tương tự, tứ giác ABCE có AB ∥ CE và AB = CE nên cũng là hình bình hành.

Vì sao không thể kết luận bằng cách khác

Ba bài không có phương án trắc nghiệm, nhưng có những lối suy luận dễ mắc khiến kết luận sai hoặc thiếu căn cứ. Dưới đây là các điểm cần tránh.

• Chỉ chứng minh song song mà bỏ bằng nhau (hoặc ngược lại). Một cặp cạnh đối song song chưa đủ kết luận hình bình hành: hình thang cân có hai đáy song song nhưng không phải hình bình hành. Một cặp cạnh đối bằng nhau cũng chưa đủ: hình thang cân có hai cạnh bên bằng nhau nhưng không là hình bình hành. Cần đủ cả hai điều kiện trên cùng một cặp cạnh đối.
• Nhầm AHCK với hình chữ nhật. AE ⊥ BD và CF ⊥ BD chỉ cho ta tính song song giữa AE và CF, không cho biết góc của tứ giác. Muốn kết luận hình chữ nhật phải có thêm một góc vuông, đề không cho.
• Bài 2: cho rằng O là trung điểm EF, HK ngay từ giả thiết. Đề chỉ nói O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD. Tính chất OE = OF, OH = OK phải chứng minh qua cặp tam giác bằng nhau, không được mặc định.
• Bài 3: nhầm ABED với hình thang cân hoặc hình chữ nhật. Chỉ có AB ∥ DE và AB = DE, không có dữ kiện về góc, nên không thể nâng cấp kết luận. Tương tự với ABCE.
• Bài 3: quên rằng E nằm trên CD. Nếu không dùng E ∈ CD thì không suy ra được AB ∥ DE (hoặc AB ∥ CE), mất một nửa căn cứ.

Hệ thống kiến thức liên quan

Toàn bộ dạng toán này xoay quanh định nghĩa và các dấu hiệu nhận biết hình bình hành. Nắm chắc danh sách dưới đây là đủ để xử lý hầu hết đề bài cùng dạng.

• Định nghĩa: tứ giác có hai cặp cạnh đối song song là hình bình hành.
• Dấu hiệu 1: tứ giác có các cạnh đối song song.
• Dấu hiệu 2: tứ giác có các cạnh đối bằng nhau.
• Dấu hiệu 3: tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau (dùng cho bài 1 và bài 3).
• Dấu hiệu 4: tứ giác có các góc đối bằng nhau.
• Dấu hiệu 5: tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường (dùng cho bài 2).

Về tính chất, hình bình hành có các cạnh đối song song và bằng nhau, các góc đối bằng nhau, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Mỗi tính chất này đảo lại đều trở thành một dấu hiệu nhận biết, đó là lý do danh sách trên dài nhưng chỉ cần nhớ một câu: tính chất nào đúng với hình bình hành thì đảo lại là cách chứng minh.

Mẹo nhận diện nhanh dạng bài chứng minh hình bình hành

Đọc đề, khoanh ngay vào một trong hai tín hiệu: có sẵn cặp cạnh đối song song/bằng nhau, hay có sẵn giao điểm hai đường chéo. Tín hiệu thứ nhất dẫn thẳng tới dấu hiệu 2 hoặc 3; tín hiệu thứ hai dẫn tới dấu hiệu 5.

• Đề cho trung điểm, giao điểm hai đường chéo, hai đường thẳng cắt nhau tại O → nghĩ ngay tới việc chứng minh O là trung điểm cả hai đường.
• Đề cho song song kèm tỉ lệ độ dài (như AB = 1/2 CD, E là trung điểm) → quy về chứng minh hai đoạn bằng nhau rồi ghép với song song.
• Đề cho vuông góc với cùng một đường → trước hết ghi ra quan hệ song song giữa hai đường vuông góc đó.
• Luôn kết bài bằng câu nêu rõ dấu hiệu đã dùng, ví dụ “hai cạnh đối song song và bằng nhau” — vừa đủ căn cứ, vừa được điểm trình bày.